Дијагонала једнакостранични трапеза. Шта је средња линија трапеза. Врсте трапезоидима. Трапез - то ..

Трапезе - посебан случај Куадрангле, у коме је један пар страна је паралелна. Термин "трапез" потиче од грчке речи τραπεζα, што значи "сто", "сто". У овом чланку ћемо погледати врсте трапеза и његових својстава. Такође, погледајте како да израчуна појединачне елементе геометријске фигуре. На пример, дијагонале једнакостраничног трапеза, средњи ред, површине и друге. Материјал садржан у основној геометрији популарном стилу т. Е. У лако доступан начин.

преглед

Прво, да се разумемо шта је куадрангле. Ова цифра је посебан случај полигона има четири стране и четири темена. Две темена четвороугла, који нису суседни, зову супротно. Исто се може рећи и за два нису суседне стране. Главне врсте четвороуглове - паралелограм, правоугаоник, ромб, квадрат, трапеза и делтоид.

Вратимо се на трапезу. Као што смо рекли, ова цифра две стране су паралелне. Они су позвали базе. Друга два (нон-паралелни) - са стране. Материјали разних прегледа и испитивања често можете упознати са изазовима у вези са трапезоидима чије решење често захтева знање ученика није покривена програмом. Школа курс геометрија уводи ученике са угловима својстава и дијагонала као средишње линије једнакокраком трапеза. Али осим тога упућује на геометријски облик има и друге функције. Али о њима касније ...

vrste трапез

Постоји много врста овој слици. Међутим, најчешће уобичајено да размотри два од њих - равнокраки трпугао и правоугаони.

1. Рецтангулар трапезоид - фигура у којима је један од стране управно на базу. Она има два угла су увек једнака деведесет степени.

2. једнакокраки трапез - геометријска фигура, чији стране једнаки. Дакле, и углови на бази такође су једнаки.

Главни принципи метода за проучавање особине трапеза

Основни принципи укључују употребу тзв задатак приступа. У ствари, нема потребе да уђе у теоретском курса геометрије нових карактеристика овог броја. Они могу бити отворени или у процесу формулисања различитих задатака (боље систем). Веома је важно да наставник зна шта задаци треба да стави пред студентима у било ком тренутку процеса учења. Осим тога, сваки трапеза имовина може бити представљена као кључни задатак у радној систему.

Други принцип је тзв спирала организација студије "изузетним" трапезу својстава. То подразумева повратак у процесу учења на појединим карактеристикама геометријске фигуре. Тако, студенти лакше да их се сетим. На пример, у власништву четири тачке. Може се доказати као у студији сличности и потом употребом вектора. Равноправна троуглова суседан са стране фигуре, могуће је доказати користећи не само особине троуглова са једнаким висинама спроведена на странама од којих леже на правој линији, али и користећи формулу С = 1/2 (аб * синα). Осим тога, могуће је разрадити закон синес на уписаног трапеза или правоуглом троуглу и трапеза описан у т Д.

Употреба "ван школског" има геометријска фигура у садржају школске наравно - А задужује своју технологију наставу. Стална референца за проучавање својства пролазак другог омогућава студентима да уче трапезу дубље и осигурава успех задатка. Дакле, прелази се на проучавању овог изузетног слици.

Елементи и особине једнакокраком трапеза

Као што смо навели, у овом геометријском слици стране су једнаки. Ипак, то је познато као прави трапеза. А шта је то изванредан и зашто је добио име? Посебне карактеристике овој слици се односи да она има не само једнаке стране и углови у бази, али и дијагонално. Поред тога, збир углова једног једнакокраки трапез једнака 360 степени. Али то није све! Само око једнакокраки може описати круг свих познатих трапезоидима. То је због чињенице да је збир супротних углова у овој слици је 180 степени, и само под овим условима може да се опише као круг око четвороугла. Следеће особине геометријског фигуре је да удаљеност од врха базе до пројекције супротстављених врхова на линији која садржи ова база ће бити једнака средњој линији.

Сада хајде да погледамо како да пронађе углове једнакокраком трапеза. Размотрити решења за овај проблем, под условом да је величина странака позната личност.

одлука

Уобичајено је да означи Куадрангле слова А, Б, Ц, Д, где БС и БП - темељ. У једнакокраки трапез стране једнаки. Претпостављамо да њихова величина је једнака Кс и И димензије су базе и З (мањи и већи, респективно). За израчунавање угла потребе да се проведу у висине Х. резултат је правоугли троугао АБН где АБ - хипотенуза, БН АН - ноге. Израчунајте величину ногу АН: одузмите од већег основе минималне, а резултат се подели са 2. Напишите формуле: (ЗИ) / 2 = Ф. Дакле, за израчунавање оштар угао од функцијских цос употребе троугао. Добијамо следећу ставку: цос (β) = Кс / Ф. Сада израчунати угао: β = Арцос (к / ф). Даље, знајући један угао, можемо одредити и друго, да ову основну аритметичке операције: 180 - В. Сви углови су дефинисани.

Постоји и друго решење овог проблема. На почетку је изостављен из угла у висини ноге С. израчунава вредност БН. Знамо да је квадрат Хипотенуза правоуглог троугла једнак је збиру квадрата друге две стране. Добијамо: ПН = √ (к2 Ф2),. Следеће, користимо тригонометријском функцијом ТГ. Резултат је: β = арцтг (БН / Ф). Оштрим углом се налази. Следеће, ми дефинишемо туп угао као иу првом методом.

Имовина дијагонала једнакокраком трапеза

Прво, пишемо четири правила. Ако је дијагонала у једнакокраком трапеза су под правим углом, а затим:

- висина фигуре је једнак збиру база, подељено са два;

- његова висина и средња линија једнаке;

- површина трапеза једнака квадрату висине (средње линије до пола база);

- квадрат од дијагонала квадрата једнака половини збира дупло квадратних база или средишње линије (висина).

Сада погледајте на формули која дефинише дијагонале једнакостраничног трапеза. Овај податак може се поделити на четири дела:

1. Формула диагонал дужине преко његове стране.

Претпостављамо да је А - нижу базу, Б - Топ, Ц - исте странице, Д - дијагонална. У том случају, дужина може се одредити на следећи начин:

Д = √ (Ц 2 + А * Б).

2. Формула за дијагонално дужину косинус.

Претпостављамо да је А - нижу базу, Б - Топ, Ц - исте странице, Д - дијагонале, а (на нижем нивоу) и п (горњу базу) - трапезоид угловима. Добијамо следећу формулу, помоћу кога могу израчунати дужину дијагонала:

- Д = √ (А2 + С2-2А * Ц * цосα);

- Д = √ (А2 + С2-2А * Ц * цосβ);

- Д = √ (Б2 + С2-2В * Ц * цосβ);

- Д = √ (Б2 + С2-2В * Ц * цосα).

3. Формула дијагонала дужина једнакокраког трапеза.

Претпостављамо да је А - нижи база, Б - горњи, Д - диагонал, М - средња линија Х - висина, П - површина трапезоидне, ниво а и β - угао између дијагонале. Одредити дужину следећих формула:

- Д = √ (М2 + Н2);

- Д = √ (Х 2 + (А + Б) 2/4);

- Д = √ (Н (А + Б) / синα) = √ (2н / синα) = √ (2М * Н / синα).

За овај случај, једнакост: синα = синβ.

4. Формула диагонал дужина кроз стране и висине.

Претпостављамо да је А - нижу базу, Б - Топ, Ц - странама, Д - дијагонална, Х - висина, α - угао са нижом базом.

Одредити дужину следећих формула:

- Д = √ (Х 2 + (А-П * цтгα) 2);

- Д = √ (Х 2 + (Б + Ф * цтгα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (Ц2-Х2)).

Елементи и својства правоугаоног трапеза

Хајде да погледамо шта су заинтересовани у овом геометријском слици. Као што смо рекли, имамо правоугаоног облика трапеза две праве углове.

Поред класичне дефиниције, постоје и други. На пример, правоугаони трапеза - трапез у коме једна страна управно на базу. Или облик који имају бочним угловима. У овој врсти висине трапезоидима је страна која је управно базама. Средња линија - сегмент који повезује средишта две стране. Имовина наведеног елемента је да је паралелно са базама и једнаке су половини њихов збир.

Сада размотримо основне формуле које дефинишу геометријских облика. Да би то урадили, ми претпостављамо да А и Б - база; Ц (управно на базе) и Д - стране правоугаоног трапеза, М - средњи ред, а - мртвог угла, П - површина.

1. Бочни управно на базама, цифра једнака висини (Ц = Н), и једнака дужини другог стране А и синус од угла а при већој основи (Ц = А * синα). Штовише, то је једнак производу тангенту на акутних угла а и разлика у базама: Ц = (А-Б) * тгα.

2. Бочни Д (не управно у базу) једнака количник разлике А и Б и косинус (ниво а) или мртвог угла и приватни висину бројке Х и синусни оштар угао: А = (А-Б) / цос α = Ц / синα.

3. Страна која је управно базама, једнака квадратном корену квадрату разлике Д - друга страна - и квадратне основе разлика:

Ц = √ (к2 (А-Б) 2).

4. Сиде Правоугаони трапезоидног једнака квадратном корену квадратне збира квадратне стране и Ц база геометријски облик разлика: Д = √ (Ц 2 + (А-Б) 2).

5. Бочна Ц једнака је количник квадратног двоструког износа њених база: Ц = П / М = 2П / (А + Б).

6. Подручје дефинисано М производа (средишње линије на правоугаоне трапеза) у висини или бочном правцу нормалном на основама: П = М * Н = М * Ц.

7. Поставите Ц је количник дупло квадратног облика са производом сине оштрим углом и збира њених база: Ц = П / М * синα = 2П / ((А + Б) * синα).

8. Формула страна правоугаоног трапеза кроз његову дијагоналу, а угао између њих:

- синα = синβ;

- Ц = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * синα = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * синβ,

где Д1 и Д2 - дијагонала трапеза; α и β - угао између њих.

9. Формула сиде преко углом у нижем нивоу и други: А = (А-Б) / цосα = Ц / синα = Х / синα.

Пошто је трапез са правим углом је посебан случај трапеза, остали формуле које одређују ове бројке, састаће се и правоугаони.

Некретнине Круг уписан

Ако је услов се каже да је у правоугаоне трапезоидне уписан круг, онда можете користити следеће карактеристике:

- количина базе је збир страна;

- удаљеност од врха правоугаоног облика на додирне тачке на уписаног круга увек једнак;

- висина трапеза једнака страни, управно на базе, и једнак пречнику круга ;

- круг центар је тачка у којој се секу симетрале углова ;

- ако се бочна страна тачке контакта је подељена на дужине Н и М, затим полупречник круга једнак је квадратном корену производа ових сегмената;

- куадрангле формирају тачкама контакта, врх трапеза и центар уписаног круга - то је квадрат, на чијој је једнак радијусу;

- површина слици је производ разума и производ од половине суме база на врхунцу.

слично трапез

Ова тема је веома корисно за проучавање својстава геометријских фигура. На пример, дијагонала подељена на четири троугла трапезоидне и суседни базе слично и са стране - једнаком. Ова изјава се може назвати власништво троуглова, која је сломљена трапеза његове дијагонале. Први део ове изјаве је доказано кроз знак сличности ова два угла. Да би доказали други део је боље користити поступка који је наведен у наставку.

dokaz

Прихватити та цифра АБСД (АД и БЦ - основа за трапеза) је сломљен дијагонале ХП и АЦ. Тачка пресека - О. Добијамо четири троугла АОЦ - на нижем нивоу, Бос - горњи базе, Або и СОД са стране. Троуглови СОД анд биофеедбацк имају заједничку висину у том случају, ако сегменти БО и ОД су њихове базе. Налазимо да је разлика у својим областима (П) једнак разлици ових сегмената: ПБОС / ПСОД = БО / мЛ = К. Сходно томе, ПСОД = ПБОС / К. Слично томе, троуглови АОБ и биофидбек имају заједничку висину. Прихваћен за њихове базе сегментима СБ и ОА. Добијамо ПБОС / ПАОБ = КО / ОП = К и ПАОБ = ПБОС / К Из овога следи да ПСОД = ПАОБ.

Да консолидују материјални ученици се подстичу да пронађе везу између области троуглова добијених, која је сломљена трапез дијагонала, одлучујући следећи задатак. Познато је да троуглови БОС и АДП подручја су једнаки, неопходно је да се пронађу област трапеза. Пошто ПСОД = ПАОБ онда ПАБСД ПБОС + = ПАОД + 2 * ПСОД. Од сличности троуглова БОШ и АНМ следи да је Бо / од = √ (ПБОС / ПАОД,). Сходно томе, ПБОС / ПСОД = БО / ОД = √ (ПБОС / ПАОД). Гет ПСОД = √ (* ПБОС ПАОД). Затим ПАБСД ПБОС + = ПАОД + 2 * √ (ПАОД ПБОС *) = (+ √ПБОС √ПАОД) 2.

пропертиес сличност

Настављајући да развију ову тему, могуће је доказати, и друге занимљиве карактеристике трапезоидима. Дакле, уз помоћ сличности може да докаже сегмент имовину, која пролази кроз тачку коју је формирао пресеку дијагонала геометријске фигуре, паралелно са земљом. За ово смо решили следеће проблеме: потребно је пронаћи дужине РК сегмент који пролази кроз тачку О. Из сличности троуглова АДП и СПУ следи да је АО / ОС = АД / БС. Од сличности троуглова АДП и АСБ следи да је АБ / ДЦ = ДБ / ад = БС / (БП Бс). То значи да је БС * ПП = ад / (АД + пне). Слично, из сличности троуглова МЛЦ и АБР следи да ОК * БП = БС / (БП + БС). То значи да ОЦ и РЦ = ЧК = 2 * БС * ад / (АД + пне). Сегмент пролази кроз тачку пресека дијагонала паралелно са базе и повезује две стране, се сециште је подељен на пола. Његова дужина - је хармоника средство разлог фигура.

Узмите у обзир следеће карактеристике трапеза, који се зове имовину четири тачке. тачка пресека дијагонала (Д), пресек наставка страницама (Е) као средине базе (Т и Г) увек леже на истој линији. Лако је доказати метод сличност. Добијене троуглови су слични бес и АЕД, и сваки укључујући и средњу ЕТ и ДЛИ подели апек угао Е у једнаким деловима. Стога, точка Е, Т и Ф колинеарне. Слично, на истој линији су распоређени у смислу Т, О и Г. Ово следи из сличности троуглова БОШ и АНМ. Стога закључујемо да су сва четири термини - Е, Т, О и Ф - ће лежати на правој линији.

Користећи сличне трапезе, може бити понуђен студентима да пронађу дужину сегмента (ЛФ), која дели слику на два дела као што је. Ово рез мора бити паралелна са базама. Од примљеног трапезоидне АЛФД ЛБСФ и слично, БС / снаге = ЛФ / ад. То значи да снаге = √ (Бс * КП). Закључујемо да је сегмент који дели у две трапеза као, има дужину једнак геометријске средње вредности дужине база схватити.

Размотримо следећу сличност имовину. Она се заснива на сегмент који дели трапезоид на два једнака дела величине. Прихватите тај сегмент трапез АБСД је подељен у два слична ЕХ. Са врха Б спуштена је висина тог сегмента је подељена на два дела ен - Б1 и Б2. Прибављање ПАБСД / 2 = (БС + ЕХ) * В1 / 2 = (АП + ЕХ) * Б2 / 2 = ПАБСД (БП + БС) * (Б1 + Б2) / 2. Даље састави систем, при чему је прва једначина (БС + ЕХ) * Б1 = (БП + ЕХ) * Б2 и другог (БС + ЕХ) * Б1 = (БП + БС) * (Б1 + Б2) / 2. Из тога следи да Б2 / Б1 = (БС + ЕХ) / (БП + ЕХ) и БС + ЕХ = ((БС + БП) / 2) * (1 + Б2 / Б1). Сматрамо да је дужина поделе трапезоид на два равноправна, једнака просечној дужине на квадратичних база: √ ((ЦН2 + АК2) / 2).

сличности закључци

На тај начин смо доказали да:

1. сегмент повезивања средину трапеза на бочним странама, паралелно са БП и БС БС је аритметичка средина и БП (база дужина трапеза).

2. Бар пролази кроз тачку О из пресека дијагонала паралелног АД и БЦ ће бити једнака хармонијске средњих бројева БП и БС (2 * БС * АД / (АД + БЦ)).

3. сегмент рјешава у сличној трапеза има дужину геометријске средње базама БС и БП.

4. елемент који дели облик у две једнаке величине, дужине средње квадратне бројеве БП анд БС.

За консолидацију материјал и свест о везама између сегмената ученика је потребно да их изграде на специфичном трапеза. Он може лако да прикаже средње линије и сегмент који пролази кроз тачку - пресеку дијагонала фигура - паралелно са земљом. Али, где ће бити трећи и четврти? Овај одговор ће водити студента до открића непознатог односа између просечних вредности.

Сегмент спајање средишта дијагонала трапеза

Размотримо следећу имовину на слици. Прихватамо да је сегмент МН паралелна базама и подели на пола дијагонално. тачка пресека се зове В и С. Овај сегмент ће бити једнак половини разлике разлога. Размотримо то детаљније. МСХ - просечна линија троугла АБС, је једнак БС / 2. Минигап - средња линија троугла ДБА, да је једнак АД / 2. Тада смо сазнали да СХСЦХ = минигап-МЗ стога СХСЦХ = ад / 2 БС / 2 = (АД + пне) / 2.

центар равнотеже

Хајде да погледамо како да дефинише елемент за дати геометријске фигуре. Да бисте то урадили, морате да прошири базу у супротним правцима. Шта то значи? Потребно је додати базу у горњем дно - на било које од страна, на пример, са десне стране. Нижи продужи дужину горњем левом углу. Даље, повежите њихова дијагонала. Тачка пресека овог сегмента са средишње линије на слици је центар гравитације трапеза.

Уписани и описао трапезу

Хајде да листа има такве бројке:

1. Линија може бити уписан у круг само ако је једнакокрак.

2. Око круга може се описати као трапеза, под условом да збир дужина њихових база је збир дужине стране.

Последице уписаног круга:

1. Висина трапеза описане увек једнака двострукој радијусу.

2. страна трапеза описаног сагледава од центра круга под правим углом.

Прва последица је очигледна, и доказати други је неопходан да се утврди да је угао СОД је директна, то јест, у ствари, и није било лако. Али знање ову некретнину вам омогућава да користите прави троугао у решавању проблема.

Сада смо навести последице за једнакокраког трапеза, који је уписан у круг. Добијамо да је висина је геометријска средња вредност основе: Х = 2Р = √ (БС * БП). Испуњавање основни метод решавања проблема за трапезоидима (принцип две висине), студент мора да реши задатак да. Прихватити ту БТ - висина на Исосцелес фигурес АБСД. Потребно је да пронађете протеже од АТ и АП. Применом формуле изнад, то ће учинити описан није тешко.

Сада ћемо објаснити како одредити полупречник круга из подручја описана трапезоид. Изостављене из врха висине Б на бази БП. Пошто је круг уписан у трапеза, БС + 2АБ = БП или АБ = (БС + БП) / 2. Из троугла АБН пронађене синα = ПН / 2 * је АБ = ПН / (АД + пне). ПАБСД = (БС + БП) БН * / 2, БН = 2Р. Набавите ПАБСД = (БП Бс) * Р следи да је Р = ПАБСД / (АД + пне).

.

Све формуле Мидлине трапезу

Сада је време да се на последњем елемент геометријске фигуре. Ми ћемо схватити, шта је средња линија трапеза (М):

1. Кроз основе: М = (А + Б) / 2.

2. Након висине, базе и кривина:

• М-Х = А * (цтгα + цтгβ) / 2;

• М + Х = Д * (цтгα + цтгβ) / 2.

3. Кроз висине и дијагонале угла између њих. На пример, Д1 и Д2 - дијагонала трапеза; α, β - угао између њих:

М = Д1 * Д2 * синα / 2 Х = Д1 * Д2 * синβ / 2Х.

4. У области и висине м = Р / Н.