Дериват синус угла једнак је косинус истог угла

Дана Једноставна тригонометрија функција и = син (к), је диференцијабилна у свакој тачки целог домена. Морамо доказати да дериват синус на сваки аргумент једнак је косинус исте угла, то јест, '= Цос (к).

Доказ се заснива на дефиницији деривата функције

Ми дефинишемо к (самовољно) у неком малом насељу у једном одређеном тренутку к Δх _0. Ми ћемо показати вредност функције у њој, и на тачки к пронаћи осцилацију ту функцију. Ако Δх - аргумент повећава, нови аргумент - ова к ₀ + Δк = к, вредност ове функције за дату вриједност аргумента (к) једнак Син (к ₀ + Δк), функција вредности у одређеном (к _{0) је} такође познат .

Сада имамо Δу = син (к ₀ + Δх) -Син (к _{0) -} добијена функција прираста.

Према формули синус збира две неједнаке угла ћемо претворити разлику Δу.

Δу = Син (к ₀₎ · Цос (Δх) + Цос (к ₀₎ · Син (Δк) минус Син (к ₀₎ = (Цос (Δк) -1 ) · Син ( к ₀₎ + Цос (к ₀₎ · Грех (Δх).

Играли услови пермутација прво групишу у трећем син (к _{0), изведен} је заједнички фактор - Сине - заграда. Добили смо у изразу Цос разлике (Δх) -1. Он је напустио да се промени знак испред заграде и заградама. Знајући шта је 1-Цос (Δх), правимо промену и добије поједностављен израз Δу, који је затим подељен Δх.
Δу / Δх имати форму: Цос (к ₀₎ · Син (Δх) / Δх 2 · Син ² (0.5 к Δх) · Син (к ₀₎ / Δх. То је однос прираштаја функције на пријему у прираст аргумента.

Остаје да пронађу границу од односа добијених од нас током лим Δх, са тенденцијом на нулу.

Познато је да граница Син (Δх) / Δк је једнак 1, под условом. А израз 2 · Син ² (0.5 к Δх) / Δх у настале суме одређених трансформација у продукт који садржи као први мултипликатора изузетном граница: бројиоцу фракције и знеменател подели са 2, квадрат синус замени производ. Ево како:
(Грех (0,5 · Δк) / (0,5 · Δк)) · Грех (Δк / 2).
Граница ове експресије када Δх тежи нули, биће једнак броју нуле (0 помножен са 1). Испоставило се да је лимит односа Δи / Δх је Цос (к ₀₎ · 1-0, ово Цос (к _{0), чија експресија} је независан од Δх тенденцијом 0. закључка: дериват на синус сваког угла једнак к косинус од к, може се написати као: и '= Цос (к).

Добијена формула је наведен у табели познатих деривата, гдје свих основних функција

У решавању проблема, где упознаје дериват на синус, можете користити правила диференцијације и готових формула табеле. На пример: наћи дериват најједноставнији функцију и = 3 · Син (к) -15. Ми користимо основну деривацију правила уклањање нумеричке фактор за знак деривата и израчунати деривативну сталан број (што је нула). Примени сине табела вредност деривата угла к једнака цос (к). Примите одговор: и '= 3 · цос (к) -О. Овај дериват, заузврат, такође основно фунцтион и = Х · Цос (к).

Извод синус квадратном свакој свадји

Приликом израчунавања израза (Син ² (к)) 'мора се како диференцирано комплексну функцију. Дакле, ² = син (к) - функција снага као синус квадрат. Његов аргумент је такође тригонометријски функција, сложен расправа. Резултат у овом случају је једнак производу првог мултипликатора је квадрат комплексне деривата аргумента, а други - дериват сине. Овде је правило за разликовање функцију функције: (У (В (к))) 'је (У (В (к)))' · (В (к)) '. Експресија в (к) - комплекс аргумент (интерна функција). Ако одређену функцију "и једнако синус квадрат к", онда дериват ове композитне функције је и '= 2 · Син (к) · Цос (к). Производ првог мултипликатор удвостручена - дериват познат експоненцијална функција, и Цос (к) - дериват синуса комплекс аргумент квадратне функције. Крајњи резултат може бити трансформисан коришћењем формулу тригонометријском синус двоструке угла. О: Дериват је Син (2 · к). Ова формула је лако запамтити, то се често користи као сто.