Раселов парадокс: основне информације, примери, формулација

Расел парадокс је две зависне логично Антиноми.

Два облика Русселл парадокс

Најчешће расправља облик противречности у логици сетовима. Неки од сета изгледа сами чланови, и други - не. Скуп свих скупова је само по себи скуп, па се чини да се односи на себи. Нула или празан, међутим, не би требало да буде члан себе. Стога, скуп свих скупова, као нула није укључена у себе. Парадокс настаје када се питање да ли је скупа члана себе. То је могуће ако и само ако то није.

Други облик парадокс је контрадикција у вези са својствима. Неке особине, чини се да се односи на себе, док други нису. Имовина да буде власништво сама је имовина, а имовина је била мачка није. Размислите власништво има својство да не припада њему. ако се односи на себи? Опет, неки од претпоставки треба да буде супротно. Парадокс је назван у част Бертранд Русселл (1872-1970), који је открио 1901. године.

прича

Отварање Расел је дошло током рада на "Принципи математике". Иако је открио парадокс самостално, постоје докази да други математичари и програмери теорије скупова, укључујући Ернст Зермело и Давид Хилберт, били свесни прве верзије контрадикција пре њега. Расел је, међутим, био је први који је детаљна расправа у парадокс у својим објављеним радовима, прво је покушао да формулише решења и први у потпуности ценити његов значај. Читав поглавље "принципа" била је посвећена расправи о овом питању, а апликација је посвећен теорији типова, који Расел предложено као решење.

Расел открио "парадокс лажова", с обзиром Канторов сет теорију која каже да је моћ било сета је мањи од скупа својих подскуповима. Барем у домену мора бити онолико подскупови колико има елемената у њој, ако је један подскуп сваког елемента је постављен садржи само овај елемент. Надаље, Цантор показало да се број елемената не може бити једнак броју подмножеств. Ако је било исто толико, она би морала да постоји ƒ функцију да би приказали елементе на њиховим подскуповима. У исто време се може доказати да је то немогуће. Неке ставке могу да буду приказане на функцију ƒ подгрупе које их садрже, док други не могу.

Размотримо подскуп елемената који не припадају својим сликама, у којима приказују ƒ. То је само по себи подскуп елемената, и стога ƒ функција би приказати на елемента у домену. Проблем је у томе онда се поставља питање да ли тај елемент припада подгрупи на који се приказује ƒ. То је могуће само ако не припада. Раселов парадокс може се посматрати као пример истог резоновања, само поједностављена. Што је још - скупови или подгрупе сету? Чини се да не би требало бити више сетова, као и сви подгрупе самих сетова. Али, ако Канторов теорема истинита, онда би требало да буде више поскупи. Расел сматра једноставно приказује скупове на себе и примењује канториански приступ с обзиром на скуп свих ових елемената, ван сета у коме су приказане. Приказ Расел постаје скуп свих скупова, а нон.

greška Фреге

"Парадокс лажова" имао је велики утицај на историјском развоју теорије скупова. Он је показао да је концепт универзалног скупа је веома проблематично. Он је такође поставио питање идеју да за сваки дефинисани стања или предикат може да преузме постојање мноштва само оних ствари које задовољавају овај услов. Опција парадокс у вези особине - природни наставак на верзију сетова - подигао озбиљне сумње о томе да ли је могуће расправљати о објективном постојању имовине или универзални складу са сваком одређена стања, или предиката.

Убрзо су пронађене су противречности и проблеми у раду логичари, филозофи и математичари који су дали сличне претпоставке. Године 1902. Расел је утврдио да једна варијанта парадокса може се изразити на логичан систем, развијен у Волуме И Готтлоб Фреге је "Основе аритметике", један од главних радова на логици крајем КСИКС - почетком КСКС века. У филозофији Фрегеа многих схваћена као "продужетак" или "валуе опсегом" концепту. Концепти су најближи они корелатима. Очекује се да ће постојати за било дато стање или предиката. Према томе, постоји концепт скупа, који не спада под његовом дефинисању концепта. Ту је класа дефинисана овим концептом, и то је предмет дефинисања свој концепт само ако он то није.

Расел писао Фрегеа о овом сукобу у јуну 1902. Преписка је постао један од најузбудљивијих и прича у историји логике. Фреге одмах препознао катастрофалне последице парадокс. Он је, међутим, да је верзија контроверзе у вези са својства у његовој филозофији је решен разлику између појмова нивоа.

Фреге схватању схваћена као прелазак из аргументима функције у ТРУЕ. Ови концепти први ниво узимајући као аргументи објекти концепата другог нивоа узимају као аргументе за ове функције, и тако даље. Према томе, концепт никада не може да се узме као аргумент, а парадокс у погледу имовине не може се формулисати. Ипак сетови, проширење или концепти Фреге разуме као да се односи на исту логичког типа као да је од свих других објеката. Онда за сваки сет поставља се питање да ли то спада под појмом га дефинише.

Када Фреге, Расел је примио прво писмо, другог тома "основама аритметике" је већ завршено штампање. Био је присиљен да се брзо припрема апликацију која даје одговор на парадокс Русселл. Примери Фреге изнијела низ могућих решења. Али он је дошао до закључка да ослабе концепт апстракције скупа у логичком систему.

У оригиналу, било је могуће закључити да је објекат припада скупу ако и само ако падне у оквиру концепта, дефинише. Ревидирани систем може само да закључи да је објекат припада скупу ако и само ако је то потпада под појам дефинисања мноштво, али није постављена у питању. Русселл парадокс настаје.

Решење, међутим, није у потпуности задовољан Фрегеа. И то је био разлог. Неколико година касније, сложенији облик супротности је пронађен у ревидирани систем. Али, чак и пре него што се ово десило, Фреге напустили своје одлуке и чини се доћи до закључка да је његов приступ био једноставно неупотребљиве, а да логика ће морати да раде без икакве сетова.

Ипак су предложили други, релативно успешне алтернативна решења. Они се разматрају у даљем тексту.

Теорија типова

Констатовано је изнад тога Фреге је адекватан одговор на парадоксе теорије скупова у верзији формулисаних за некретнине. Фреге одговор је претходила најчешће расправљало решење овог облика парадокса. Она се заснива на чињеници да су особине су подложни различитим типовима и коју врсту имовине никада није иста као и ставке на које се односи.

Стога, није ни поставља се питање, да ли је имовина се може применити на себи. Логицал језика, која раздваја елементе такве хијерархије, користећи теорију типова. Иако је већ користи Фрегеа, први пут је у потпуности објаснити и поткрепљена Русселл у Анексу "принципа". Теорија типова је потпуније него разлике нивоа Фреге. Она је заједничка својства нису само различите врсте логике, али и сет. тип теорију да реши противречност у парадокс Расел следи.

Да би да буде филозофски адекватан, усвајање теорије врсте имовине захтева развој теорије о природи имовине, тако да би могло да објасни зашто они не могу применити на себи. На први поглед, има смисла да предикат своју имовину. Имовина је само-идентитета, чини се, то је такође само-идентитета. Имовина изгледа лепо пријатно. На исти начин, по свему судећи, изгледа погрешно рећи да је имовина бити мачка је мачка.

Ипак, разни мислиоци оправдао поделу различитих типова. Расел је чак дао различита објашњења у различитим временима у својој каријери. Са своје стране, разлог за одвајање различитих концепата нивоа Фреге долази из његове теорије незасићених концепата. Концепти као функција, у суштини, нису комплетни. Да пружи вредност, потребна им је аргумент. Ви не само један концепт може да се предикат концепт истог типа, јер је и даље захтева свој аргумент. На пример, иако је могуће да се квадратни корен квадратног корена неког броја, не можете само користити квадратног корена функцију квадратног корена функцију и добити резултат.

О конзервативизам својствима

Друго могуће решење је парадокс својства негација својства опстанак под било којим датим условима, или добро формиране предиката. Наравно, ако неко избегава метафизичке особине објективних и независних елемената у целини, ако узмемо номинализам парадокс може избећи у потпуности.

Међутим, да се реши антиномију не мора бити тако екстреман. Логиц вишег реда системи развијени Фреге и Русселл, садржи оно што се зове концептуална принцип, према којем сваки отворени формула без обзира на то колико је сложен постоји као део имовине или концепт, на пример, само оне предмете који се подударају са формулу. Они примењују у погледу карактеристика сваког могућег скупа услова или предиката, без обзира колико комплексан су.

Ипак, било је могуће да се више ригорозне метафизику својства, даје право на објективном постојању једноставних карактеристика, укључујући, на пример, као што су црвене боје, чврстину, доброте и тако даље Д Можете чак и да пусти ове особине се односе на себе, као што су љубазност. Цан будите љубазни.

А исти статус за сложене атрибута може бити одбијен, на пример, такви "својства", као што седамнаест глава, да се писане под-водом и слично. Д. У овом случају, нема унапред одређене услове не испуњава имовину, схваћена као засебно postojeći елемент, који има своје особине. На тај начин може негирати постојање једноставних особина бе-власништво-да-не-примењују према себи и избегне парадокс применом више конзервативне метафизичке особине.

Раселов парадокс: решење

Изнад констатовано је да је на крају свог живота Фреге потпуно напустили логику сетова. То, наравно, једно решење за антиномије у облику комплета: једноставна порицање постојања таквих елемената као целине. Поред тога, постоје и други популаран избор, основе које су приказане у наставку.

Теорија за многе врсте

Као што је раније поменуто, Расел играо за потпунију теорију типова, који би деле не само својства или концепте у различитим врстама, али и сет. Расел схаред сет на мноштво посебних јединица, мноштво комплета посебних објеката, итд Сетови објеката нису сматрали, и мноштво комплета - .. Сетс. Много никада није имао врсту, омогућава да имате као члан себе. Због тога постоји скуп свих скупова који нису чланови сама, јер за сваки скуп питања о томе да ли је као члан, је сама по себи једна врста повреда. Опет, питање је да објасни метафизика сетове да објасне филозофске темеље поделе на типове.

стратификација

У 1937. В. В Куаин је понудио алтернативно решење, на начин сличан теорији типова. Основне информације о томе јесу.

Одвајање скупове и друге елемента. Направљен тако да је претпоставка за проналажење плурализам увек није исправан или бесмислена. Сетови може бити обезбеђен само приликом дефинисања своје услове нису тип повреде. Тако, за Квајн, израз "Кс није члан к" је значајна изјава не значи постојање скуп свих елемената к који задовољавају овај услов.

У овом систему сет постоји неко отворено формуле А ако и само ако је стратификовани, т. Е. Уколико варијабле су додељени позитивне целе бројеве да таква за сваку карактеристичну појаву мноштва претходи га променљива додељује додељивање јединица мања од променљиве, после после њега. То блокира раселов парадокс, јер је формула која се користи за одређивање проблема сет, постоји иста пре и после променљива знак чланство чинећи га унстратифиед.

Али тек треба да се утврди да ли је последица система, који Квајн под називом "новим темељима математичке логике" доследан.

одбацивање

Сасвим другачији приступ узима у теорији Зермело - Фраенкел (ЗФ). Овде, такође, одредити границу о постојању скупова. Уместо тога, приступи "одозго на доле" од Расела и Фрегеа, који је у почетку мислио да је за све концепата, својстава, или услова може да сугерише постојање скуп свих ствари са ове некретнине или да испуни таквог стања, у ЗФ-теорији, све почиње "из дна ка врху."

Појединачни елементи празан скуп и формирају сет. Због тога, за разлику од ранијих система и Русселл Фреге ФИТ не припада универзалном скупу који садржи све елементе и чак све скупове. ЗФ поставља строга ограничења у погледу постојања скупова. Могу постојати само они за које је јасно постулирано или који могу бити формулисане помоћу самопонављајућег процеса и сл Д..

Затим, уместо концепта апстракције наивне скуп којем се наводи да је одређени елемент укључен у сету ако и само ако испуњава услове у принципу раздвајања користи, ДФ, одвајање или "сортирања". Уместо преузимања постојање скуп свих елемената који су без изузетка задовоље одређену услов, за сваки постојећи сет Ауссондерунг указује на постојање подгрупе свих елемената у оригиналном скупу који задовољава услов.

Затим долази апстракција принцип: ако је скуп А постоји, онда, за све Кс у к припада подгрупи А, који задовољава услов ако и само ако је к задовољава услов Ц. Овај приступ решава парадокс Русселл, јер не можемо једноставно претпоставити да је, скуп свих скупова који нису чланови себе.

Има пуно сетова, можете да изаберете или поделити га у сетовима, који су сами по себи, и оних који нису такви, али пошто не постоји универзални скуп нисмо везани скуп свих скупова. Без преузимања проблем поставља Расел контрадикција не може доказати.

друга решења

Поред тога, дошло је до накнадних проширења или модификација свих ових рјешења, као што је раздвајање теорије типова "Принципа математике", проширење система "Математичке логике" Куинеа, као и каснији развој теорије сетова Бернаис, Годел и вон Неуманн. Питање да ли је проналазак одговора на непоуздан парадокс Бертранда Русселла још увијек је питање расправе.