Неодређени интеграл. Обрачун неодређеног интеграла

Један од основних делова математичке анализе је интегрални рачун. Она покрива веома широко поље објеката, где је први пут - то је неодређени интеграл. Позиција стоји као кључ који је још увек у средњој школи открива све већи број могућности и шанси, који описује више математике.

изглед

На први поглед, чини се потпуно саставни део савременог, површинско, али у пракси се испоставило да се он вратио у 1800 пне. Хоме званично сматра Египат као није нам до раније доказе о његовом постојању. Она због недостатка информација, све док постављен само као феномен. Он је још једном потврђује ниво научног развоја народа у тим временима. На крају, радови су пронађене древне грчке математичари, која датира из 4. века пре нове ере. Они описују метод који се користи где неодређени интеграл, суштина која је требало да пронађу обим или површину неког криволинијског облика (тродимензионални и дводимензионална плане, респективно). Прорачун је базиран на принципу поделе првобитне фигуре у бескрајно компоненти, под условом да је обим (област) је већ позната њима. Током времена, метод је порасла, Архимед га користи да пронађу подручје параболе. Сличне калкулације у исто време да се спроведе вежбе у древној Кини, где су били потпуно независни од грчког колеге науке.

развој

Наредни пробој у КСИ веку пре нове ере постао је рад арапског учењака "караван" Ебу Али ел-Басри, који је померио границе већ познато, су изведени из интегралног формуле за израчунавање суме износа и ступњева од првог до четвртог, пријаве за ово нама познат индукција метход.
Умови данашњице се дивили су древни Египћани створили невероватне споменика без посебних алата, осим да од своје руке, али се није ГАЗДУЈ научници време не мање чудо? У поређењу са садашњим временима свог живота изгледају скоро примитивна, али је одлука о раду на неодређено интеграла закључити свуда и користе у пракси за даљи развој.

Следећи корак је одржана у КСВИ веку, када је италијански математичар Цавалиери довео недељива метод, који покупио Пер Ферма. Ово двоје личност поставили темеље за модерну интегрални рачун, који је познат у овом тренутку. Везали концепте диференцијације и интеграције, које су раније виђени као јединице заокружене. Све у свему, математика тог времена био уситњених честица налазе постоје сами, уз ограничено коришћење. Начин да се уједине и пронађу заједнички језик је једини прави у овом тренутку, захваљујући њему, модерни математичка анализа је имала прилику да расту и развијају.

Са протоком времена све се мења и интегрални симбол као. Све у свему, то је означен научнике који на свој начин, на пример, Њутн се користе икону квадратна, који стави интеграбилних функцију, или једноставно ставити заједно. Ова разлика је трајала све до КСВИИ века, када је обележје за читаву теорију математичка анализа научник Готфрид Леибнитс уведен такав карактер познати нама. Издужено "М" је заправо на основу овог писма је написано латиницом, јер означава збир примитивцима. Име интеграл добија захваљујући Јакоб Бернули, после 15 година.

Формална дефиниција

Неодређени интеграл зависи од дефиниције примитивни, тако да сматрамо на првом месту.

Примитивна функција - инверзна функција деривата, у пракси се назива примитивна. Иначе: примитивни функција д - је функција Д, што је дериват в <=> В '= в. Тражи примитиван је да се израчуна неодређени интеграл, а сам процес се зове интеграција.

primer:

Функција с (и) = и ^{3, а} његова примитивни С (и) = (и ^4/4).

Скуп свих примитивних у функцији - да ли је ово неодређени интеграл, означен је као што следи: ∫в (х) ДКС.

На основу чињенице да В (к) - само су неке примитивне оригинал функција, експресије има: ∫в (к) дк = В (к) + Ц, где је Ц - константа. Под произвољне константе се односи на било константа, јер његов дериват је нула.

својства

Особине која поседују неодређени интеграл, основи се базира на дефиницији и својства деривата.
Размислите кључне тачке:

• интеграл дериват примитивна примитиван сама плус произвољна константа Ц <=> ∫В '(к) дк = В (к) + Ц;
• дериват интеграла функције је оригинални функција <=> (∫в (к) дк) '= в (к);
• константа вади испод интегралног знаком <=> ∫кв (к) дк = к∫в (к) дк, где к - је произвољна;
• интеграл, која се узима из збира идентично једнака збиру интегралов <=> ∫ (в (и) + в (и)) ди = ∫в (и) ди + ∫в (и) ди.

Последње две особине, може се закључити да је неодређени интеграл је линеарна. Због тога, имамо: ∫ (кВ (и) ди + ∫ ЛВ (И)) ди = к∫в (и) ди + л∫в (и) ди.

Да бисте видели примере фиксирање солутионс неограничене интеграли.

Морате наћи саставни ∫ (3синк + 4цоск) дк:

• ∫ (3синк + 4цоск) дк = ∫3синкдк + ∫4цоскдк = 3∫синкдк + 4∫цоскдк = 3 (-цоск) + 4синк + Ц = 4синк - 3цоск + Ц.

Из примера можемо закључити да не знају како да реше неограничене интеграли? Само наћи све примитивце! Али потрага за принципа у наставку.

Поступци и примери

У циљу решавања саставни, можете да прибегавају од следећих начина:

• спреман да искористи стола;
• интегрисање би партс;
• интегрисана заменом променљиве;
• сумирајући под знаком диференцијала.

столови

Најједноставнији и пријатан начин. У овом тренутку, математичка анализа се може похвалити веома опсежне табеле, који детаљно објашњава основну формулу неодређеног интеграла. Другим речима, постоје шаблони изведени до вас, а ви можете узети само их искористе. Овде се налази листа главних табела позиције, које могу бити приказане скоро сваком случају, има решење:

• ∫0ди = Ц, где је Ц - константа;
• ∫ди = и + Ц, где је Ц - константа;
• ∫и ^н ди = (и ^{н + 1)} / (н + 1) + Ц, где је Ц - константа, и н - број различит од јединства;
• ∫ (1 / и) ди = У | И | + Ц, где је Ц - константа;
• ^{∫е и ди = е и + Ц} , где је Ц - константа;
• ^{∫к и ди = (к и /} лн к) + Ц, где је Ц - константа;
• ∫цосиди = сини + Ц, где је Ц - константа;
• ∫синиди = -цоси + Ц, где је Ц - константа;
• ∫ди / цос ² и = ТГИ + Ц, где је Ц - константа;
• ∫ди / син ² и = -цтги + Ц, где је Ц - константа;
• ∫ди / (1 + и ²⁾ = арцтги + Ц, где је Ц - константа;
• ∫цхиди = схи + Ц, где је Ц - константа;
• ∫схиди = цхи + Ц, где је Ц - константа.

Ако је потребно, направити пар корака довести интегранд до поглед табеларном и уживајте у победу. ПРИМЕР: ∫цос (5к -2) дк = 1 / 5∫цос (5к - 2) д (5к - 2) = 1/5 к син (5к - 2) + Ц.

Према одлуци јасно је да, на пример сто интегранд недостају мултипликатор 5. смо додали паралелно са овим множењем са 1/5 општем изразу није променила.

Интеграција је Партс

Размотрите две функције - З (и) и Кс (И). Они морају бити непрекидно диференцијабилна на свом домену. У једном диференцијације својстава имамо: д (КСЗ) = кдз + Здк. Интегрише обе стране, добијамо: ∫д (КСЗ) = ∫ (кдз + Здк) => зк = ∫здк + ∫кдз.

Преправљање добијену једначину, добијамо формулу која описује методу интеграције по деловима: ∫здк = зк - ∫кдз.

Зашто је потребно? Чињеница да су неки од примера је могуће да се поједностави, рецимо, да се смањи ∫здк ∫кдз, ако је ово друго је у близини форми табеларног. Такођер, ова формула може користити више пута, за оптималне резултате.

Како решити неодређено интеграли на овај начин:

• потребно израчунати ∫ (с + 1) Е ^2с дс

∫ (к + ^{1) е 2с дс = {з =} с + 1, ДЗ = дс, и = 1 ^{/ 2е 2с, ди = е 2к} дс} = ((а + 1) е ^2с) / 2-1 / 2 ∫е ^2с дк = ((а + 1) е ^2с) / 2-е ^2с / 4 + Ц;

• мора израчунати ∫лнсдс

∫лнсдс = {з = ЛНС, дз = ДС / С, И = С, ди = ДС} = слнс - ∫с к дс / с = слнс - ∫дс = слнс -С + Ц = С (ЛНС-1) + Ц

Замена променљиву

Овај принцип решавања неограничене интеграли нису ништа мање потражње него на претходна два, али компликовано. Поступак је следећи: Нека В (к) - интеграл неке функције в (к). У случају да у себи интегрални у Примеру слозхносоцхиненни долази, вероватно збунити и иде погрешним путем решења. Да би избегли ову измену праксе од променљиве к са з, у којој општи израз вида поједностављену одржавајући зу зависности к.

У математичким терминима, ово је као што следи: ∫в (к) дк = ∫в (и (з)) и '(з) дз = В (з) = В (и -1 (к)), где је к = и ( з) - замена. И, наравно, инверзна функција з = и ^-1 (к) у потпуности описује однос и однос варијабли. Важна напомена - диференцијални ДКС нужно заменити новим диференцијални ДЗ, јер је промена променљиве у неодређени интеграл подразумева да замене свуда, не само у интегранд.

primer:

• морају да пронађу ∫ (с + 1) / (с ² + 2С - 5) ДС

Извршити замену з = (с + 1) / (с ² + 2с-5). Тада дз = 2сдс = 2 + 2 (с + 1) дс <=> (с + 1) дс = дз / 2. Као резултат тога, следећи израз, који је веома лако израчунати:

∫ (с + 1) / (с ² + 2с-5) ДС = ∫ (дз / 2) / з = 1 / 2ЛН | з | + Ц = 1 / 2ЛН | с ² + 2с-5 | + Ц;

• морате наћи саставни ∫2 ^с Е ^С ДКС

Да бисте решили реврите у следећој форми:

^{∫2 с е с дс = ∫ (} 2Е) с дс.

Ми означавају по = 2е (замена аргумента овај корак није, она је и даље с), дајемо наш наизглед компликован саставни део основног облику табеле:

^{∫ (2е) с дс = ∫а} с дс = а с / лна + Ц = (2е) с / лн (2е) + Ц = 2 ^с е ^с / лн (2 + лне) + Ц = 2 ^С Е ^с / (ЛН2 + 1) + Ц.

Сумирајући диференцијални знак

Све у свему, ова метода неодређених интеграла - близанац принципа промене променљиве, али постоје разлике у процесу регистрације. Размотримо детаљније.

Уколико ∫в (к) дк = В (к) + Ц и и = з (к), а затим ∫в (и) ди = В (и) + Ц.

У исто време не смемо заборавити тривијалне интегралне трансформације, међу којима су:

• дк = д (к + а), и где - сваки цонстант;
• дк = (1 / а) д (ак + б), где - константа поново, али не нула;
• кдк = 1 / 2д (к ² + б);
• синкдк = -д (цоск);
• цоскдк = д (синк).

Ако узмемо у обзир општи случај где смо укупну неодређени интеграл, примера могу подвести под општом формулом в '(к) дк = дв (к).

primeri:

• морају да пронађу ∫ (2с + 3) ² дс, дс = 1 / 2Д (2с + 3)

∫ (2с + 3) ² ДС = 1 / 2∫ (2с + 3) ² д (2с + 3) = (1/2) к ((2с + 3) ²⁾ / 3 + Ц = (1/6) к (2с + 3) ² + Ц;

∫тгсдс = ∫синс / цоссдс = ∫д (Цосс) / Цосс = -У | Цосс | + Ц.

онлине хелп

У неким случајевима, грешка која може постати или лењост, или хитна потреба, можете да користите онлајн упутства, односно, да користи калкулатор неограничене интеграли. Упркос очигледној сложености и контроверзне природе интеграли, одлука подлеже њиховим специфичним алгоритма, који се заснива на принципу "ако не ... онда ...".

Наравно, а нарочито компликована примери таквог калкулатор неће савладати, јер постоје случајеви у којима је одлука да се пронађу вештачки "присиљени" увођењем одређених елемената у процесу, јер су резултати су очигледни начини да се дође до. Упркос контроверзне природе ове изјаве, да ли је истина, као математике, у принципу, апстрактна наука, а његов примарни циљ сматра да је потреба да се оснажи границе. Заиста, за глатку убрзање у теоријама је веома тешко да се креће горе и развијају, тако да не претпостављају да су примери решавања неограничене интеграли, који нам дали - ово је врхунац могућности. Али, вратимо се техничке стране ствари. Барем да провере прорачуне, можете користити услугу у којој је писано за нас. Уколико постоји потреба за аутоматско израчунавање сложених израза, онда они не морају да прибегавају озбиљније софтвера. Треба обратити пажњу првенствено на животну средину МАТЛАБ.

апликација

Одлука о раду на неодређено интеграла на први поглед изгледа потпуно одвојен од реалности, јер је тешко видети очигледну употребу авиона. Заиста, директно их користе где год да не могу, али су неопходни средњи елемент у процесу повлачења решења користе у пракси. Тако, интеграција назад диференцијације, чиме активно учествује у процесу решавања једначина.
За узврат, ове једначине имају директан утицај на одлуку механичких проблема, обрачун путање и топлотне проводљивости - укратко, све оно што чини садашњост и обликовању будућности. Неодређени интеграл, примери које смо горе у обзир, тривијално само на први поглед, као основа за обављање више и више нових открића.