Булова алгебра. Алгебра логике. Елементи математичке логике

У данашњем свету у коме се све више користе различите машина и уређаја. И не само када је неопходно применити буквално натприродну снагу: померите рад да га подигне на висину, копају дуге и дубоке ровове, итд Аутомобили данас прикупљају роботи, храна се кува Мултиварки и основних израчунавања аритметичке производе калкулаторе ... Све више и чешће чујемо израз "Булова алгебра". Можда је дошло време да схвати улогу људских бића у стварању робота и машина способност да решава не само математички, већ и логичких проблема.

логика

У грчкој логици - сређена систем размишљања који ствара везу између датим условима и омогућава вам да закључке на основу претпоставки и процјена. Врло често, питамо једни друге: "Логично је да се" Одговор потврђује наше претпоставке или критикује ток мисли. Али тај процес не заустави ту: настављамо да разговарамо.

Понекад је број услова (инпут) је тако велика, а однос између њих је тако збуњујуће и сложена да је људски мозак није у стању да "свари" одједном. Можда ће бити потребно више од месец дана (недеља, година) за разумевање онога што се дешава. Али модеран живот не даје ове временске интервале да доноси одлуке. И ми прибегавају помоћ компјутера. И овде је да постоји алгебра и логика, са својим законима и својства. Након преузимања свих изворних података, ми дозвољавамо да рачунар препозна све везе, да елиминише контрадикције и да нађе задовољавајуће решење.

Математика и логика

Фамоус Готфрид Вилгелм Леибнитс формулисао концепт "математичке логике", који задаци су били лако да разумеју само мали круг научника. Од посебног интереса је правац није дао повода, а до средине КСИКС века математичке логике познат по мало.

Велико интересовање у научној заједници изазвао је спор у којем је Енглез Џорџ бул објавио своју намеру да успостави огранак математике, немају апсолутно никакву практичну примену. Као што знамо из историје, у овом тренутку активно развија индустријску производњу, развили смо све врсте помоћних машина т. Е. Све научна открића су имали практичну оријентацију.

Гледајући унапред, кажемо да је Булова алгебра - највише користи у свету данас део математике. Дакле, твој аргумент Бухл изгубио.

Џорџ бул

Личност аутора заслужује посебну пажњу. Чак и имајући у виду чињеницу да је у прошлости људи одрасли пред нама, ипак треба напоменути да у 16 година Јохн. Бухл предавао у сеоској школи, и до 20 година отворио своју школу у Линколн. Математичар савршено овладао пет страних језика, ау слободно време, читао дела Њутна и Лагранге. И све то - на сина обичног радника!

1839., Бухл послао своје прве научне радове у Цамбридге Матхематицал Јоурнал. Научник је 24 година. Бул рад је толико заинтересовани чланови Краљевског друштва, 1844. године добио је медаљу за допринос развоју математичке анализе. Неколико објављених радова у којима су елементи математичке логике, математике дозвољено да млади преузме дужност професора на Цоллеге оф Цорк Цоунти су описани. Подсетимо се да у веома Бул образовање није било.

идеја

У принципу, Булова алгебра је врло једноставна. Постоје изјаве (логички изрази) да, са становишта математике, може да се дефинише само у две речи: "истина" или "лажно". На пример, дрвеће у пролеће Блоом - истина, у лето пада снег - лаж. Лепота математике је да није стриктно потребно да се користе само бројеве. За алгебра пресуда сасвим уклапа никакве изјаве са јединственим значењем.

Тако, алгебра логике може да се користи буквално свуда: у распореду и писање инструкција, анализа конфликтних информација о догађајима и одређивање редоследа радњи. Најважнија ствар - да се схвати да није битно како ћемо утврдити истину или лаж изјава. Из ових "како" и "зашто" треба да игноришете. Оно што је битно је само изјава ствари: истина је лаж.

Наравно, програмирање најважније функције алгебре логике да су снимљене са одговарајућим знацима и симболима. И учи их - то значи да уче нови страни језик. Ништа није немогуће.

Основни појмови и дефиниције

Без улажења у дубину, бавимо терминологије. Дакле, Булова алгебра претпоставља:

• изјаве;
• логичке операције;
• функције и законима.

Изјаве - свака потврдан експресиони која се може тумачити два-валуед. Они се пишу као бројеве (5> 3) или формулисаних познатим речима (слонова - највећи сисаваца). У том случају, израз "жирафе врат није" такође има право да постоји, само Булова алгебра га дефинишу као "лаж".

Све изјаве треба да буду јасна, али могу бити основни или једињење. Недавна употреба логично свежањ. Е. У једињењу алгебарском изјаве Пресуде формиране додавањем елементарних операција логичких.

Булова алгебра операције

Ми смо већ запамтити да је операција у алгебри пресуда - логично. Као што алгебре бројева који користе аритметичке операције за сабирање, одузимање, или упоредити бројеве, математичке логике елементи омогућавају да сложене изјаве, да одбије или да израчуна коначан резултат.

Логичке операције за формализацију и једноставност изражена формулом, близак нама аритметике. Својства Булова алгебра једначина да је могуће снимити и израчунати непознато. Логичке операције се обично бележе стола истине. Његови елементи дефинишу колоне и рад на рачунару који се обављају на њих, а редови показују резултате прорачуна.

Основна логика акције

Најчешћа у логичку операција алгебра су негација (НЕ), и логично АНД и ОР. Дакле, могуће је практично описати све кораке у алгебри пресуда. Проучавали смо детаљно сваки од три операције.

Негација (не) се примењује само једним елементом (операнд). Стога, операција се зове унарни негација. За снимање концепт "није" помоћу тих симбола: ¬, А или !. У облику табеле то изгледа овако:

Функција порицања типичног такве изјаве: Ако је истина, онда А - лажна. На пример, месец окреће око Земље - истине; Земља окреће око Месеца - лажи.

Логички множење и сабирање

Логичан и операција се зове повезаност. Шта то значи? Прво, да се може применити на два операнда, односно, ја - .. бинарна операција. Друго, то је само у случају истине оба операнда (и А и Б) је истинито, а сам израз. Пословица, "Стрпљење и мало напора" подразумева да само два фактора може помоћи особи да се носи са тешкоћама.

симболи се користе за снимање: А∧Б, А⋅Б или А && Б.

Везник је слична умножавања у аритметици. Понекад и кажем - логичан множење. Ако помножите елементе редова табеле, добијамо резултат сличан логичког размишљања.

Раздвајање је логично ИЛИ операција. Тачно је да барем један од изјава је истина (или А или Б). То је написано овако: А∨Б, А + Б или А || Б. сто истина за ове операције су:

Раздвајање сличан аритметика додатак. логично аддитион Операција има само једну рестрикцију: 1 + 1 = 1. Али ми се да у дигиталном формату је ограничен на математичке логике 0 и 1 (где 1 - истина, 0 - лажни). На пример, изјава "у музеју можете видети ремек или нађе добро друштво" значи оно што можете видети уметничка дела, а могуће је да се задовољи занимљив особу. Истовремено, не искључује могућност истовременог испуњења оба догађаја.

Функције и закони

Дакле, ми већ знамо шта је логично операција помоћу Булова алгебра. Функције описују све особине елемената математичке логике, и омогућавају нам да се поједностави сложене изјаве сложене. Највише јасна и једноставна изгледа одбацивања имовину операција деривата. Би деривати подразумевају КСОР, импликације и еквиваленцију. Као што смо прочитали само са основним операцијама, а онда је имовина је такође само их размотрити.

Асоцијативност значи да у изјавама као што су "и А и Б и Б 'секвенцу листинг операнада није битно. Формула се пише како следи:

(А∧Б) ∧В = А∧ (Б∧В) = А∧Б∧В,

(А∨Б) ∨В = А∨ (Б∨В) = А∨Б∨В.

Као што можете видети, ово није јединствен у комбинацији, али је раздвајање.

Цоммутативити тврди да је резултат заједно или раздвајања не зависи од тога који је предмет разматрати на почетку:

А∧Б = Б∧А; А∨Б = Б∨А.

Дистрибутивити омогућава открити заграде у сложеним логичким изразима. Правила су слични отварања загради у умножавање и додатак у алгебре:

А∧ (Б∨В) = А∧Б∨А∧В; А∨Б∧В = (А∨Б) ∧ (А∨В).

Унит својства и огреботина, које могу бити један од операнада такође сличне на алгебарске множењем нула или један, и додавањем јединице:

А∧0 = 0, А∧1 = А; А∨0 = А, А∨1 = 1.

Идемпотенција нам говори да уколико релативно две једнаке операнди је резултат рада је исти, можете "бацити" вишак комплицирају резоновања операнди. И операције спрези и раздвајања су идемпотент.

Б∧Б = Б; Б∨Б = Б.

Стицање такође нам омогућава да поједностави једначину. Абсорптион наводи да када је експресија се наноси на једну операнд, друга операција са истим елемент резултата операнд апсорбира операцију.

А∧Б∨Б = Б; (А∨Б) ∧Б = Б.

редослед операција

Редослед операција је од великог значаја. У ствари, као што је на алгебре, постоји функција приоритет који користи Булова алгебра. Формуле могу бити поједностављена предмет само на значај операција. Рангирање од најзначајнијих до занемарљив, добијамо следећу секвенцу:

1. Порицање.

2. Цоњунцтион.

3. раздвајање, ЛОЛ.

4. Импликација, еквиваленције.

Као што можете видети, само негацију заједно и немају једнак приоритет. Приоритет дисјункције и КСОР једнаки, као и приоритете импликацији и еквиваленције.

Функције импликације и еквиваленције

Као што смо рекли, поред основних логичких операција, математичке логике и теорије алгоритама који користе деривате. То је најчешће импликација и еквиваленције.

Импликација или логична последица - ова изјава, у којој је једна акција је услов, а други - резултат њене реализације. Другим речима, овај предлог са изговором "ако ... онда". "После вечере долази Тхе Рецконинг." Е. За вожњу бити затегнути на след брду. Ако не постоји жеља да се креће са планине, а затим превуците санке није потребно. Је написан тако: А → Б или А⇒Б.

Једнакост подразумева да је нето ефекат јавља само када су оба операнда истинита. На пример, ноћ уступа дан затим (и само тада), када сунце излази на хоризонту. На језику математичке логике ове изјаве је написан као А≡Б, А⇔Б, а == Б.

Други закони Боолеан алгебра

пресуда алгебра развија, а многи заинтересовани научници да формулише нове законе. Најпознатији сматрају претпоставља шкотски математичар О. Де Морган. Приметио и дао дефиницију такве особине као што непосредној негације, сабирање и двострука негација.

Цлосе дениал сугерише да пре заграда може се порећи: нот (А или Б) = нот А или Б. НОТ

Када је операн одбијен, без обзира на његову вредност, кажу у вези тога:

Б∧¬Б = 0; Б∨¬Б = 1.

И на крају, сама двострука негација компензује. тј пре или Операнд негација нестаје или остаје само један.

Како решити тестове

Логика подразумева поједностављење предодређен једначине. Баш као у алгебре, неопходно је да се максимално олакша први услов (да се отараси компликованих улазних операција, и са њима), а затим почети у потрази за тачан одговор.

Шта урадити да се поједностави? Претворити све деривате у једноставној операцији. Онда открити све конзоле (или обрнуто, да се заграде да се смањи овај елемент). Следећи корак треба да буде да користе Боолеан алгебра својства у пракси (карактеристике апсорпције нула и један, и т.).

На крају крајева, једначина би требало да се састоји од минималног броја непознатих, у комбинацији са једноставним операцијама. Најлакши начин да траже решење, ако направите велики број блиских негатива. Онда је одговор ће се појавити као да сам по себи.